一种基于k-uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法技术

本发明专利技术公开了一种基于k

【技术实现步骤摘要】
一种基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法


[0001]本专利技术涉及计算机图形学、数字艺术图形生成领域，具体涉及一种基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法，引入空间构图的自由度生成基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图，实现数字艺术图形的可控生成。

技术介绍

[0002]k
‑
uniform铺砌是周期性铺砌，其特点在于其铺砌包含的都为正多边形，包括正三角形、正四边形、正六边型、正八边形、正十二边形。这些多边形要么共享一个顶点要么共享一条边，其中有15种正多边形组合能够相互结合生成平面铺砌如图2所示。k
‑
uniform铺砌中的k代表该铺砌具有k种顶点类型。
[0003]传统的数字艺术图形生成有，基于动力系统结合混沌理论生成数字艺术图形的方法、结合Penrose铺砌与混沌动力学生成数字艺术图形的方法、通过分型理论生成分型艺术图形的方法、以及弱混沌理论为基础的准规则斑图图形生成方法等。
[0004]基于动力系统的方法基于动力系统数学模型，通过常微分方程组构造出具有特定对称性的数字艺术图形。该方法能生成几种不同对称性的数字艺术图形，但其所包含的空间结构太少且难以控制生成的图形花纹样式。
[0005]结合Penrose铺砌与混沌动力学生成数字艺术图形的方法，该方法通过设计不变映射，将混沌动力学生成的数字艺术图形与Penrose铺砌结合起来生成具有Penrose铺砌空间结构，且无接缝的图形，但该方法只能适应该铺砌结构，且控制图形花型变换的手段十分有限，需要针对性设置映射函数以避免接缝问题。
[0006]基于分型理论生成分型艺术图形的方法，通过该方法通过L系统、DOL系统、复动力系统等生成具有自相似性的分型图形，但空间结构单调且难以控制。
[0007]基于q次共振条件成立时的ZZSUC映射进行哈密顿量变换与平滑化处理导出数学模型，即准规则斑图数学模型，并由此生成的数字艺术图形，具有一定的平移对称性以及旋转对称性，但同样其空间结构过于单调，且图案花型较难控制。

技术实现思路

[0008]本专利技术目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法。
[0009]本专利技术的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法，所述方法包括以下步骤：
[0010]步骤一，选择一种k
‑
uniform铺砌形式，选定后，构建铺砌平移网格，记为T；铺砌平移网格的定义为：通过平移该网格使k
‑
uniform铺砌的铺砌块无缝隙的铺满待生成斑图的平面；确定铺砌平移网格T内部所包含的多边形铺砌块P
n
的类型，n表示该多边形铺砌块的边数；铺砌平移网格T包含的信息有：1)该网格区域在平面上的平移向量(t1,t2)；2)该网格区域内所有铺砌块P
n
的顶点信息；
[0011]k
‑
uniform铺砌中的k代表该铺砌具有k种顶点类型；由于k
‑
uniform铺砌的所有边具有相同的长度，所以将边规范化为单位长度；构建铺砌平移网格的数据结构表示为(2+n)
×
4整数矩阵，包含两个平移向量和n个种子顶点的晶格坐标；平移向量的线性组合能够将铺砌平移网格铺满整个铺砌平面；种子顶点为铺砌平移网格的数据结构的基本单元，为从原点出发到达铺砌平移网格内其它点的路径表达式，平移向量则是由原点出发到达铺砌平移网格顶点的路径表达式。要生成铺砌平移网格的数据结构，首先选择一个顶点为原点来规范化铺砌的位置，然后再选择一组规范的方向来规范铺砌的方向；
[0012]根据铺砌平移网格的平移向量以及种子顶点，重建铺砌平移网格，最后进行渲染时需要将其笛卡尔坐标还原出来。
[0013]步骤二，构造映射函数将铺砌平移网格T内的铺砌块P
n
映射至笛卡尔坐标系中心位置，铺砌块中心与坐标原点重合，并通过旋转变换使铺砌块摆正，保证其始终有一条边垂直于x轴；映射函数指的是：通过刚体变换将变换前的铺砌块与变换后的铺砌块使用函数的形式一一对应；首先，将铺砌块根据其中心坐标，通过平移移至坐标原点；然后，根据铺砌块的边数来确定原点与摆正后铺砌块顶点的夹角α，并且计算原点与当前顶点的夹角β，β与α的差值即为摆正多边形所需要旋转的角度；
[0014]步骤三，根据k
‑
uniform铺砌的铺砌块类型构建铺砌块P
n
的基本区域，记为U；基本区域位于铺砌块内，每个铺砌块P
n
的基本区域根据铺砌块的边数n来构造，将P
n
和x轴正半轴相交的一条边的两个顶点与P
n
中心相连，该两个顶点与铺砌块中心组成的三角形区域即为基本区域，基本区域关于x轴对称；
[0015]步骤四，构造不变映射函数将多边形铺砌块P
n
内其它区域映射至基本区域U；不变映射函数为刚体变换，其不变性表示为所映射的区域和基本区域是全等的；其映射方式包括在铺砌的对称群中，记该对称群为有限循环群C
n
，其生成元的阶数为n，有限循环群C
n
由围绕一个点的n次旋转所产生；
[0016]步骤五，不变映射完成后，根据设定好的的图像大小在坐标空间内将基本区域U的点代入准规则斑图模型进行迭代，迭代完成后得到准规则斑图迭代值，记为根据该值在设置好的颜色调色盘上的位置，确定该基本区域U内点的颜色值；
[0017]步骤六，由于步骤四中铺砌块P
n
内其它区域被映射到了基本区域U中进行迭代，所以基本区域U内点的颜色值将映射回P
n
内其它区域内点的对应位置，完成对整个铺砌块的着色；对整个铺砌平移网格T内的铺砌块完成着色后，将T根据其平移向量(t1,t2)在铺砌平面上平移，最终铺满整个平面，完成绘制。
[0018]进一步地，步骤一中，所述k
‑
uniform铺砌是周期性铺砌，其特点在于，其铺砌包含铺砌块都为正多边形，包括正三角形、正四边形、正六边型、正八边形和正十二边形。
[0019]进一步地，步骤一中，由于k
‑
uniform铺砌，除开一种由正方形与八边形构成铺砌结构的特殊情况，其所有的铺砌块都由三角形、正方形、正六边形和十二边形组成，所以边之间的角度皆为30的倍数；通过将边与复平面中的12个单位根对齐，来规范化铺砌的方向即
[0020]进一步地，步骤一中，平移向量和种子顶点的生成方式为：
[0021]1)确立一个原点[0 0 0 0]；
[0022]2)种子顶点和平移向量的路径可由ω的整数表达多项式来表达；设Z[ω]为ω的整数表达多项式集，设{ω0,ω1,ω2,ω3}为其Z[ω]在Z上的本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：步骤一，选择一种k
‑
uniform铺砌形式，并构建铺砌平移网格，记为T；铺砌平移网格的定义为：通过平移该网格使k
‑
uniform铺砌的铺砌块无缝隙地铺满待生成斑图的平面；确定铺砌平移网格T内部所包含的多边形铺砌块P
n
的类型，其中n表示该多边形铺砌块的边数；铺砌平移网格T包含的信息有：1)该网格区域在平面上的平移向量(t1,t2)；2)该网格区域内所有铺砌块P
n
的顶点信息；k
‑
uniform铺砌中的k代表该铺砌具有k种顶点类型；由于k
‑
uniform铺砌的所有边具有相同的长度，所以将边规范化为单位长度；构建铺砌平移网格的数据结构表示为(2+n)
×
4整数矩阵，包含两个平移向量和n个种子顶点的晶格坐标；平移向量的线性组合能够将铺砌平移网格铺满整个铺砌平面；种子顶点为铺砌平移网格的数据结构的基本单元，为从原点出发到达铺砌平移网格内其它点的路径表达式，平移向量则是由原点出发到达铺砌平移网格顶点的路径表达式。要生成铺砌平移网格的数据结构，首先选择一个顶点为原点来规范化铺砌的位置，然后再选择一组规范的方向来规范铺砌的方向；根据铺砌平移网格的平移向量以及种子顶点，重建铺砌平移网格，最后进行渲染时需要将其笛卡尔坐标还原出来。步骤二，构造映射函数将铺砌平移网格T内的铺砌块P
n
映射至笛卡尔坐标系中心位置，使铺砌块中心与坐标原点重合，并通过旋转变换使铺砌块摆正，保证其始终有一条边垂直于x轴；映射函数指的是：通过刚体变换将变换前的铺砌块与变换后的铺砌块使用函数的形式一一对应；首先，将铺砌块根据其中心坐标，通过平移移至坐标原点；然后，根据铺砌块的边数来确定原点与摆正后铺砌块顶点的夹角α，并且计算原点与当前顶点的夹角β，β与α的差值即为摆正多边形所需要旋转的角度；步骤三，根据k
‑
uniform铺砌的铺砌块类型构建铺砌块P
n
的基本区域，记为U；基本区域位于铺砌块内，每个铺砌块P
n
的基本区域根据铺砌块的边数n来构造，将P
n
和x轴正半轴相交的一条边的两个顶点与P
n
中心相连，该两个顶点与铺砌块中心组成的三角形区域即为基本区域，基本区域关于x轴对称；步骤四，构造不变映射函数将多边形铺砌块P
n
内其它区域映射至基本区域U；不变映射函数为刚体变换，其不变性表示为所映射的区域和基本区域是全等的；其映射方式包括在铺砌的对称群中，记该对称群为有限循环群C
n
，其生成元的阶数为n，有限循环群C
n
由围绕一个点的n次旋转所产生；步骤五，不变映射完成后，根据设定好的的图像大小在坐标空间内将基本区域U的点代入准规则斑图模型进行迭代，迭代完成后得到准规则斑图迭代值，记为根据该值在设置好的颜色调色盘上的位置，确定该基本区域U内点的颜色值；步骤六，由于步骤四中铺砌块P
n
内其它区域被映射到了基本区域U中进行迭代，所以基本区域U内点的颜色值将映射回P
n
内其它区域内点的对应位置，完成对整个铺砌块的着色；对整个铺砌平移网格T内的铺砌块完成着色后，将T根据其平移向量(t1,t2)在铺砌平面上平移，最终铺满整个平面，完成绘制。2.根据权利要求1所述的基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法，其特征在
于，步骤一中，所述k
‑
uniform铺砌是周期性铺砌，其特点在于，其铺砌包含铺砌块都为正多边形，包括正三角形、正四边形、正六边型、正八边形和正十二边形。3.根据权利要求1所述的基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法，其特征在于，步骤一中，由于k
‑
uniform铺砌，除一种由正方形与八边形构成铺砌结构的特殊情况，其所有的铺砌块都由三角形、正方形、正六边形和十二边形组成，所以边之间的角度皆为30的倍数；通过将边与复平面中的12个单位根对齐，来规范化铺砌的方向即4.根据权利要求1所述的基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法，其特征在于，步骤一中，平移向量和种子顶点的生成方式为：1)确立一个原点[0 0 0 0]；2)种子顶点和平移向量的路径可由ω的整数表达多项式来表达；设Z[ω]为ω的整数表达多项式集，设{ω0,ω1,ω2,ω3}为其Z[ω]在Z上的一组微分基；则Z[ω]＝Zω0+Zω1+Zω2+Zω3，所以每个顶点由四个整数[a
0 a
1 a
2 a3]唯一表示，对应于点a0ω0+a1ω1+a2ω2+a3ω3∈Z[ω]；由于只有基本方向{ω0,ω1,ω2,ω3}出现在路径中，其它方向可由公式(1)的恒等式表示：5.根据权利要求1所述的基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法，其特征在于，步骤一中，根据铺砌平移网格的平移向量以及种子顶点，重建铺砌平移网格，最后进行渲染时需要将其笛卡尔坐标还原的具体步骤如下：(1)将顶点存储在一个哈希表中，该哈希表用顶点的晶格坐标作为索引；设某个顶点v以及与其相连接的点的w组成由w围绕顶点v循环排列的星形数据结构，vw为铺砌的边，该星形数据结构方便遍历顶点周围的边；所以w＝v+ω
k
；可以通过这些边对应的ω的指数的有序序列来表示这些边；通过该结构可以遍历所有种子顶点并重建铺砌中所有的边；(2)多边形的一个角是顶点v与一对边组成，该两条边对应的ω的指数记为k和k'，设该角对应多边形边数为m，则通过遍历点v周围相邻的边k和k'，可以根据计算公式得到围绕顶点的多边形；其排序方式为按照围绕顶点v多边形逆时针排序，且并将其按照多边形的边数由小到大排序；该步骤重建铺砌块的面；为了避免重复重建多边形，当且仅当顶点是面的最左下角点时才进行重建；(3)以上重建都是基于铺砌的晶格坐标计算，若需要渲染铺砌则需要其顶点的笛卡尔坐标，设e1，e1为平面R2的标准基，则如公式(2)所示
记为W＝BE，所以笛卡尔坐标可如公式(3)求得6.根据权利要求1所述的基于k
‑
uniform铺砌结构的准规则斑图生成方法，其特征在于，所述步骤二中，记铺砌块内点为(P
x
,P
y
),映射后点为(P
′
x

【专利技术属性】
技术研发人员：金耀，殷铮铮，张华熊，
申请(专利权)人：浙江理工大学，
类型：发明
国别省市：