基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法技术

本发明专利技术提供基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法包括步骤1求解得到网格单元的有限元数值解，在每个网格节点的超收敛单元片内，基于解的梯度

Adaptive finite element mesh subdivision method for IC based on posterior error estimation

【技术实现步骤摘要】
基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法
本专利技术涉及有限元网格细分
，特别涉及基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法。
技术介绍
电磁场问题可以通过偏微分方程加上边界条件来描叙，但由于边界条件非常复杂，不可能从微分方程及其边界条件获得精确解，可以通过诸如有限元的数值计算方法来获得近似解，且需要足够密的网格才能获得达到一定精度要求的解。尽管计算机的速度和存储能力在不断提高，但是对于非常复杂的问题，不能无限度的加密网格以追求解的精度，而是需要以尽可能少的网格和尽可能快的求解时间达到给定的精度要求。为了判断解是否达到给定的精度要求，需要判断近似解的质量，以确保其可靠性。这样，既要保证尽可能少的网格和尽可能快的求解时间，又要使得解有一定的精度，于是产生了一个重要的研究内容就是用尽量少的自由度使获得的解达到给定的精度；在实际超大规模集成电路电磁场分析中，输入的多边形形状非常复杂。一方面，需要尽量减少生成的网格使得计算规模减小，另一方面，由于精度要求，需要减少单元的最大尺寸，这又导致计算规模增大的问题；一般自适应有限元分析是基于计算出来的初始值，通过某种方法估计其误差并确定下一步的细分策略。这种通过初始解来估计其误差的方法称为后验误差估计。对于h-型自适应有限元，其后验误差估计的方法大致可分为两种：基于平衡方程残值法和基于有限元解的后处理法。由于数值计算求解问题的精确解是未知的，因此无论是残值法还是后处理法，都无法直接计算现有解的误差；对于自适应网格细分策略，仍然需要多次网格细分并求解获得满足精度要求的解，对于超大规模集成电路利用有限元法求解电磁场问题时产生的初始网格即达数百万，多次网格细分并求解获得满足精度要求的解将占用大量的时间。基于上述问题，本专利技术提供了一种基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法，能够减少近似解的误差；调整网格细分密度，从而保证以尽量少的网格获得足够高的精度；基于有限元超收敛理论估算网格单元一次性细分次数，并对网格单元一次性细分次数自动作适当的调节以达到所需精度；能够保证一次网格细分并求解即可获得满足精度要求的解。
技术实现思路
（一）专利技术目的为克服上述现有技术存在的至少一种缺陷，本专利技术提供了一种基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法，以解决传统自适应有限元细分方法需要多次网格单元细分并求解获得满足精度要求的解的问题，保证一次且尽可能少的网格单元细分并求解即可获得满足精度要求的解，在获得满足精度要求的解的情况下，大大减少了超大规模集成电路电磁场问题求解所需内存和CPU时间。（二）技术方案作为本专利技术的第一方面，本专利技术公开了一种基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法，包括以下步骤：步骤1，求解得到当前网格单元的有限元数值解，在每个网格节点的超收敛单元片内，基于解的梯度Gfem近似恢复更高阶精度的梯度Gspr作为解的梯度的准确值；步骤2，基于所述解的梯度Gfem和所述更高阶精度的梯度Gspr计算每个所述网格单元的相对误差和总体误差，从而判断出总体误差指标是否达标，若达标，则结束，若未达标，则进行步骤3；步骤3，根据所述网格单元细分过程中所述总体误差的变化规律，迭代算出每个所述网格单元一次性细分次数；步骤4，对所述网格单元的所述细分次数进行平滑，使得相邻所述网格单元的所述细分次数差别不高于1，从而确保所述网格单元细分后疏密所述网格单元的自然过渡；步骤5，基于所述网格单元的所述细分次数直接对每个所述网格单元进行所述细分；步骤6，对所述细分的所述网格单元进行平滑；步骤7，转入步骤1。一种可能的实施方式中，所述超收敛单元片为有限元求解的误差在求解区域的某些部分的收敛速度大于所述求解区域的其它部分的所述收敛速度的单元片。一种可能的实施方式中，在所述步骤1中，所述网格节点的超收敛单元片定义为：包含该网格节点的所有网格单元形成的所述单元片；若所述网格节点在区域内部，则所述单元片应完全包含该网格节点；若所述网格节点不在所述区域内部而在边界上，则包含该网格节点的所述所有网格单元不完全包含该网格节点，此时认为该网格节点不存在所述超收敛单元片。一种可能的实施方式中，在所述步骤1中，所述恢复更高阶精度的梯度Gspr的具体步骤为：步骤1.1，计算每个所述网格单元所述解的梯度Gfem；步骤1.2，对第i个网格节点，若该网格节点存在所述超收敛单元片，计算该超收敛单元片的x方向最小值xmin、最大值xmax和y方向最小值ymin、最大值ymax，若是进行三维有限元网格单元的自适应细分，则还应计算出该超收敛单元片的z方向最小值zmin、最大值zmax；步骤1.3，对所述第i个网格节点，若该网格节点存在所述超收敛单元片，计算该超收敛单元片的归一化超收敛点；式中为该超收敛单元片的第j个超收敛点；若是进行所述三维有限元网格单元的自适应细分，则该超收敛单元片的归一化超收敛点的计算公式应为：式中为该超收敛单元片的第j个超收敛点；步骤1.4，对所述第i个网格节点，若该节点存在所述超收敛单元片，按下式计算其所述更高阶精度的梯度Gspr：其中P为p阶多项式完整展开式，p为单元阶数；n为该超收敛单元片内所述超收敛点的个数；若是进行所述三维有限元网格单元的自适应细分，则以上A,b计算公式应为A为泛函极值点求解举证，b为泛函极值点求解系数，为P的转置。一种可能的实施方式中，在所述步骤2中，所述计算每个所述网格单元的相对误差：所述总体误差：式中表示针对单元向量的2-范数，表示针对所有向量的2-范数；判断所述总体误差指标是否达标：需判断是否满足若满足，则所述总体误差指标达标，自适应网格单元细分结束，式中0为事先指定的误差阈值。一种可能的实施方式中，在所述步骤3中，计算出每个所述网格单元允许的最大误差为：式中Se为所述网格单元的面积，S为所有网格单元的面积总和；若某个所述网格单元计算的误差满足则该网格单元不需要细分，否则，若所述网格单元一次细分成NC个子单元，NR次细分后所述子单元的误差为。一种可能的实施方式中，在所述步骤3中，所述迭代算出每个所述网格单元一次性细分次数具体包括：步骤3.1，初始化各所述网格单元的所述细分次数NR为0；步骤3.2，若所述总体误差满足所述事先指定的误差阈值要求，则结束步骤3，否则，执行步骤3.3；步骤3.3，计算每个所述网格单元的相对误差并按从大到小的顺序排序，设i=1；步骤3.4，对排序后的第i个网格单元，更新其所述细分次数为NR=NR+1更新第i个网格单元的所述相对误差为根据更新的第i个本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法，其特征在于，包括以下步骤：/n步骤1，求解得到当前网格单元的有限元数值解，在每个网格节点的超收敛单元片内，基于解的梯度

【技术特征摘要】
1.一种基于后验误差估计的集成电路自适应有限元网格细分方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，求解得到当前网格单元的有限元数值解，在每个网格节点的超收敛单元片内，基于解的梯度Gfem近似恢复更高阶精度的梯度Gspr作为解的梯度的准确值；
步骤2，基于所述解的梯度Gfem和所述更高阶精度的梯度Gspr计算每个所述网格单元的相对误差和总体误差，从而判断出总体误差指标是否达标，若达标，则结束，若未达标，则进行步骤3；
步骤3，根据所述网格单元细分过程中所述总体误差的变化规律，迭代算出每个所述网格单元一次性细分次数；
步骤4，对所述网格单元的所述细分次数进行平滑，使得相邻所述网格单元的所述细分次数差别不高于1，从而确保所述网格单元细分后疏密网格的自然过渡；
步骤5，基于所述网格单元的所述细分次数直接对每个所述网格单元进行所述细分；
步骤6，对所述细分的所述网格单元进行平滑；
步骤7，转入步骤1；
所述超收敛单元片为有限元求解的误差在求解区域的某些部分的收敛速度大于所述求解区域的其它部分的所述收敛速度的单元片；
在所述步骤1中，所述网格节点的超收敛单元片定义为：包含该网格节点的所有网格单元形成的所述单元片；若所述网格节点在区域内部，则所述单元片应完全包含该网格节点；若所述网格节点不在所述区域内部而在边界上，则包含该网格节点的所述所有网格单元不完全包含该网格节点，此时认为该网格节点不存在所述超收敛单元片；
在所述步骤1中，所述恢复更高阶精度的梯度Gspr的具体步骤为：
步骤1.1，计算每个所述网格单元所述解的梯度Gfem；
步骤1.2，对第i个网格节点，若该网格节点存在所述超收敛单元片，计算该超收敛单元片的x方向最小值xmin、最大值xmax和y方向最小值ymin、最大值ymax，若是进行三维有限元网格单元的自适应细分，则还应计算出该超收敛单元片的z方向最小值zmin、最大值zmax；
步骤1.3，对所述第i个网格节点，若该网格节点存在所述超收敛单元片，计算该超收敛单元片的归一化超收敛点；






式中为该超收敛单元片的第j个超收敛点，此时，有






式中gx,gy为在超收敛点的x方向,y方向的分量；
若是进行所述三维有限元网格单元的自适应细分，则该超收敛单元片的归一化超收敛点的计算公式应为：















式中为该超收敛单元片的第j个超收敛点，式中gx,gy,gz为在超收敛点的x方向,y方向，z方向的分量；
步骤1.4，对所述第i个网格节点，若该网格节点存在所述超收敛单元片，按下式计算其所述更高阶精度的梯度Gspr：



其中P为p阶多项式完整展开式，p为单元阶数，如对于一阶三角形单元，有



其中a为待定系数，定义



对于一阶四面体单元，有






其中n为单元片所有超收敛点的个数；(xi,yi)或(xi,yi,zi)为超收敛点的坐标；以上方程表明，在F(a)取最小值时，在超收敛点处与最为接近，而这里的超收敛点正好是获得更高阶收敛的点；对泛函F(a)取极值，得出







n为该超收敛单元片内所述超收敛点的个数，A为泛函极值点求解矩阵，b为泛函极值点求解系数，为P的转置；
若是进行所述三维有限元网格单元的自适应细分，则以上A,b计算公式应为

；
在所述步骤2中，所述计算每个所述网格单元的相对误差：



所述总体误差：



式中表示针对单元向量的2-范数，表示针对所有向量的2-范数；
判断所述总体误差指标是否达标：需判断是否满足



若满足，则所述总体误差指标达标，自适应网格单元细分结束，式中0为事先指定的误差阈值；
在所述步骤3中，计算出每个所述网格单元允许的最大误差为：



式中Se为所述网格单元的面积，S为所有网格单元的面积总和；
若某个所述网格单元计算的误差满足



则该网格单元不需要细分，否则，若所述网格单元一次细分成NC个子单元，NR次细分后所述子单元的误差为

；
特殊情况下，若解与真值相同，计算区域内误差处处为0，在这样的假设情况下，使用上述步骤3计算出每个所述网格单元允许的最大误差，总体误差变为



如果有M个所述网格单元需要细分，则总体误差变为



式中为...

【专利技术属性】
技术研发人员：唐章宏，
申请(专利权)人：北京唯智佳辰科技发展有限责任公司，
类型：发明
国别省市：北京;11