模拟二维水流运动的三次样条多尺度有限元方法技术

本发明专利技术公开了一种模拟二维水流运动的三次样条多尺度有限元方法，该方法首先将需要求解的问题转换成变分形式；确定研究区边界条件，设定粗网格单元尺度h，剖分研究区域，得到粗网格单元，将粗网格单元剖分为细网格单元；在每一粗网格单元上求解退化椭圆型问题，构造基函数；采用有效的计算矩阵的方法求解总刚度矩阵和右端项联立方程组；求得研究区上每个节点(粗尺度)的水头；采用三次样条技术求得粗尺度水头导数，根据达西定律获得粗尺度达西渗流速度；通过基函数和插值公式得到粗单元上每个节点(细尺度)水头；采用三次样条法求得细尺度水头导数，根据达西定律获得细尺度达西渗流速度。与现有技术相比，该方法的精度与其相近，计算效率更高。

【技术实现步骤摘要】

本专利技术属于水力学
，具体涉及一种模拟多孔介质中二维水流运动的三次样条多尺度有限元方法。
技术介绍
地下水是十分重要的水体，是水资源的重要组成部分。世界各国有很多城市的大部分用水都取自地下水。同时，在地质工程活动中，地下水的分布和运移是一项重要因素。因此，研究地下水位和渗流速度的计算方法和数值模拟，对于考察地下水分布规律及预测具有十分重要的意义。多尺度有限单元法(HouandWu1997)是由科学工作者提出的一种求解非均质介质中地下水流问题的方法。多尺度有限单元法的核心思想是在网格单元上令基函数满足局部微分算子，从而通过基函数抓住介质的非均质性质。和常规的有限单元方法或者有限差分方法不同，多尺度有限单元法不要求单元内部的渗透系数必须近似为常数。在处理非均质问题时，多尺度有限单元法可以使用较少的网格单元数，无需对研究区精细剖分。因此，多尺度有限单元法比有限单元方法或有限差分方法的计算效率更高，在进行大尺度研究区域中的水流模拟时能够节约大量计算成本。同时，许多科学工作者已经从数学推导和数值模拟上证明了多尺度有限单元法能够很好的求解椭圆和抛物型问题，并且高效、收敛、精确(HouandWu1997,Houetal.1999,Dengetal.2008,Yeetal.2004)。然而，和有限单元法一样，多尺度有限单元法无法获得连续的节点水头导数，导致其无法通过达西定律获得连续、精确的达西渗流速度场，不能对地下水运动状态进行精确描述。
技术实现思路
针对于上述问题，本专利技术的目的在于提供一种模拟二维水流运动的三次样条多尺度有限元方法，该方法将三次样条法(Zhangetal.1994)与多尺度有限单元法有机结合，以解决现有技术中无法通过达西定律获得连续、精确的达西渗流速度场，不能对地下水运动状态进行精确描述的问题。为达到上述目的，本专利技术的模拟二维水流运动的三次样条多尺度有限元方法，包括步骤如下：(1)根据所要模拟的研究区域确定边界条件，设定粗网格单元尺度h，剖分该研究区域，得到粗网格单元，对每一个粗网格单元进行细剖分得到细网格单元；(2)根据渗透系数K以及基函数的边界条件，求解退化的椭圆型问题，确定基函数，形成有限元空间；(3)计算各粗网格单元的刚度矩阵，相加得总刚度矩阵；根据研究区域的边界条件、源汇项，计算右端项，形成有限元方程；(4)提供有限元方程的有效解法，求得研究区域上每个节点的水头；(5)在研究区每条网格单元线上运用三次样条技术求解水头的一阶导数值；(6)通过达西定律求解研究区节点上的达西渗流速度Vc；(7)通过研究区域每个节点的水头及基函数得到每一个粗网格单元上每一个节点水头；(8)在粗网格每条单元线上运用三次样条技术求解水头的一阶导数值；(9)通过达西定律求解每一粗网格单元上的达西渗流速度Vf。进一步地，所述的步骤(1)中，采用矩形单元剖分研究区域，以形成粗网格单元。进一步地，所述的步骤(1)中，采用三角形单元剖分粗网格单元，以形成细网格单元。进一步地，所述的步骤(2)、(3)中，细网格单元上的渗透系数K、源汇项值近似取这个单元的所有顶点上的渗透系数、源汇项的平均值。进一步地，所述的步骤(5)、(6)与步骤(7)、(8)、(9)相互独立。本专利技术的有益效果：1.本专利技术令多尺度有限单元法可以获得其研究区及粗网格单元节点上的达西渗流速度，并保证它们的连续性；2.与现有计算达西渗流速度的常用方法相比，在研究区网格节点数目相同时，本专利技术获得的精度更高；3.本专利技术可以将计算整个研究区达西渗流速度的问题转化为求解各个粗网格单元节点的达西渗流速度的问题，从而节约大量计算成本；4.本专利技术能有效求解非均质多孔介质地下水流场和达西渗流速度场，且原理简单，高效精确；5.在求解大范围，长时间等高计算量问题时，本专利技术的效率更高。附图说明图1绘示本专利技术中三次样条法示意图。图2绘示二维连续介质模型，在研究区的每边被剖分为10、20、30等份时各数值法获得的的平均相对误差。图3绘示二维高振荡水头模型，各数值法获得的水头在截面y＝0.7处的相对误差。图4绘示二维高振荡水头模型，各数值法获得的在截面y＝0.7处的相对误差。具体实施方式为了便于本领域技术人员的理解，下面结合实施例与附图对本专利技术作进一步的说明，实施方式提及的内容并非对本专利技术的限定。本专利技术的模拟二维水流运动的三次样条多尺度有限元方法求解粗网格单元上的达西渗流速度Vf的过程如下：先通过多尺度有限单元法得到粗网格单元顶点水头，再通过基函数的插值公式获得所有粗网格单元上的节点(即细尺度节点)上的水头。假设[a,b]是粗网格单元□ijkl上的一条网格线(参照图1所示)，有n+1个节点，使用样条函数S近似估计水头H，样条函数S为三次多项式，S在[a,b]上任一节点的值等于该点的水头值；S的二阶导数在[a,b]上连续，S在[a,b]上某区间[xτ-1,xτ]的表达式如下：S(x)=(xτ-x)2(x-xτ-1)(xτ-xτ-1)2dSdx|x=xτ-1-(xτ-x)(x-xτ-1)2(xτ-xτ-1)2dSdx|x=xτ+(xτ-x)2[2(x-xτ-1)+(xτ-xτ-1)](xτ-xτ-1)3H(xτ-1)+(x-xτ-1)2[2(xτ-x)+(xτ-xτ-1)](xτ-xτ-1)2H(xτ)]]>由于S的二阶导数在[a,b]上连续，可以得到一个关于S一阶导数的方程组，求解可以得到S的一阶导数，该导数在节点上是连续的。利用该导数替代水头的一阶导数，再通过达西定律，可以得到粗网格单元节点上的连续的达西渗流速度Vf。若需要求解研究区域网格节点(即粗尺度节点)上的达西渗流速度Vc，只需利用多尺度有限单元法求得的所有研究区网格节点上的水头值，再通过三次样条函数得到连续的水头导数，通过达西定律求解即可。具体步骤和上述求解Vf的步骤类似。通过对多孔介质下的二维连续介质模型，二维高振荡水头模型，二维振荡介质模型，二维多尺度介质模型(两种不同尺度)，二维渐变介质模型，二维稳定流潜水介质模型的数值模拟，发现本专利技术与解析解吻合的很好；和常用求解达西渗流速度的方法相比，在研究区网格节点数目相同时，本专利技术获得的精度更高；在总节点数目(包括细尺度节点本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种模拟二维水流运动的三次样条多尺度有限元方法，其特征在于，包括步骤如下：(1)根据所要模拟的研究区域确定边界条件，设定粗网格单元尺度h，剖分该研究区域，得到粗网格单元，对每一个粗网格单元进行细剖分得到细网格单元；(2)根据渗透系数K以及基函数的边界条件，求解退化的椭圆型问题，确定基函数，形成有限元空间；(3)计算各粗网格单元的刚度矩阵，相加得总刚度矩阵；根据研究区域的边界条件、源汇项，计算右端项，形成有限元方程；(4)提供有限元方程的有效解法，求得研究区域上每个节点的水头；(5)在研究区每条网格单元线上运用三次样条技术求解水头的一阶导数值；(6)通过达西定律求解研究区节点上的达西渗流速度Vc；(7)通过研究区域每个节点的水头及基函数得到每一个粗网格单元上每一个节点水头；(8)在粗网格每条单元线上运用三次样条技术求解水头的一阶导数值；(9)通过达西定律求解每一粗网格单元上的达西渗流速度Vf。

【技术特征摘要】
1.一种模拟二维水流运动的三次样条多尺度有限元方法，其特征在于，包括步骤如下：
(1)根据所要模拟的研究区域确定边界条件，设定粗网格单元尺度h，剖分该研究区域，
得到粗网格单元，对每一个粗网格单元进行细剖分得到细网格单元；
(2)根据渗透系数K以及基函数的边界条件，求解退化的椭圆型问题，确定基函数，形
成有限元空间；
(3)计算各粗网格单元的刚度矩阵，相加得总刚度矩阵；根据研究区域的边界条件、源
汇项，计算右端项，形成有限元方程；
(4)提供有限元方程的有效解法，求得研究区域上每个节点的水头；
(5)在研究区每条网格单元线上运用三次样条技术求解水头的一阶导数值；
(6)通过达西定律求解研究区节点上的达西渗流速度Vc；
(7)通过研究区域每个节点的水头及基函数得到每一个粗网格单元上每一个节点水头；
(8)在粗网格每条单元线上运用三次...

【专利技术属性】
技术研发人员：谢一凡，吴吉春，薛禹群，谢春红，
申请(专利权)人：南京大学，
类型：发明
国别省市：江苏;32